基向量

坐标空间中会有对应轴的单位向量 向量就可以理解为由单位向量拉伸之后的和

张成空间

对于两个指定的基向量

固定一个向量

如果固定一个向量，另一个向量随意缩放，则会描绘出一条直线

不固定

大部分情况下，可以到达平面所有的点 但当两个向量共线时，这时候会被限制在直线上 如果都是0向量，那么就只能在原点了 所有可以表示给定向量线性组合的向量的集合，被称作给定向量的张成空间 可以理解为两个向量变化得到的所有情况得到的空间

这里其实是在讨论，如果只通过向量加法和数乘，我们能得到怎样的结果，也就是张成空间

向量和点的关系

如果向量填满整个空间，那么会很拥挤 所以通常只用终点来描述向量，起点则是在原点 那么多个点，只要考虑对应的线就行 这样就可以得到，两个向量的张成空间是一个平面

三维中

那么在三维中也是同理，两个向量的张成空间是一个平面*

如果加上第三个向量

定义基本和二维一致 如果第三个向量刚好在前两个向量形成的张成平面上，那么他们的张成空间不会发生变化* 但是在大多数情况下，第三个向量不会落在前两个向量张成的平面上，那么这意味着可以得到所有三维空间的平面* 当有一个向量落在其他两个向量的平面中，或者和其中一个共线，移除这个向量不影响张成空间，那么可以说明这个向量与其它两个向量线性相关 反之，如果一个向量增加了原来的维度，那么 称为线性无关*

基向量的定义

所以基向量定义，是拿一个向量出来都会增加维度，和另外两个向量线性无关，注意这里没有说基向量是互相垂直，互相垂直是坐标系的要求

变换

线性变换

变换的本质可以理解为函数，但变换一词意指可视化的运动 线性变换的要求，直线必须保持且原点不变* 或者说网格平行且等距分布* 如果保持直线，原点移动的话，虽然不是线性变换，但是是仿射变换

如何用数值描述线性变换

只需要记住基向量的变换后的位置* 一个向量由基向量计算得来，那么线性变换后依然满足*

线性变换矩阵(缩放旋转)

变换后的基向量* 转换成矩阵形式，这里实际涵盖了缩放和旋转 如果想要计算变换后的向量位置，那么只需要和矩阵进行计算

剪切（切变）Shear

这里相当于只有一个基向量发生变化，那么只需要将需要变换的向量和这个改变过的基向量相乘就行*

矩阵乘法与线性变换复合的联系

复合变换

先旋转，再剪切，这样多次变换就是复合变换 这里依旧可以追踪基向量的变化来得到复合变换矩阵，这个复合矩阵表示了总体的变换效果*

矩阵的计算顺序

矩阵计算需要从右到左运算，运算结果应该和使用复合矩阵变换是一致的 计算顺序来源于函数的表达式*