游戏角色（尤其是NPR/卡通渲染）有个经典问题：硬表面的 split normal（分裂法线）在描边和阴影计算时会出现接缝。解决方案是额外烘培一套”平滑法线”——但模型的UV1已经用来存贴图坐标了，怎么传进Shader？

范数

在处理八面体之前需要先了解范数

简单解释

简单来说，它是“长度”或“距离”这一直觉概念在多维向量空间（甚至函数空间）中的一般化定义。如果你把一个向量想象成空间中的一个点，那么范数就是描述这个点离原点有多远，或者这个向量有多大的一个数值。

范数的类型

这里只介绍两种相关的范数 L1范数（曼哈顿距离）： L1范数可以理解为出租车距离，也就是它的距离是由出租车行驶的每段距离相加，也就是各个分量之和

\[|v| = |x| + |y| + |z|\]

L2范数（欧几里得长度）： L2范数则是接触最多的，比如求两点之间的直线距离，直角三角形求斜边长度

\[|v| = \sqrt{(x² + y² + z²)}\]

在二维中图像表示如下图

八面体映射原理

三维与二维

从二维图到三维，就是加上Z轴，二维图像其实就是八面体的顶视图，这其实就引出一个问题，八面体是上下对称重叠的，那么如果将下半部分，也就是z<0的部分展开，就可以变成一个平面数据，也就可以变相将三维数据存入二维了

三维映射原理

对于模型的法线向量来说，归一化后它的范围就是一个球范围，那么如果要映射到八面体上，就可以让X和Y分量除以L1范数

对于Z分量，则是另有用途，前面说过八面体上下是重叠，这里就需要使用Z分量进行处理，如果是在下方，那么X分量和Y分量则需要反转或者说折叠

两种理解方法

从公式入手推导

折叠其实就是相对于边界对称，这里则需要先计算点和边界的距离了，也就是点与直线的距离

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

这里会有四条边界第一象限（x>0, y>0）： x + y = 1 第二象限（x<0, y>0）： -x + y = 1 第三象限（x<0, y<0）： -x - y = 1 第四象限（x>0, y<0）： x - y = 1 那么原坐标沿着对称线法线方向移动2d，就可以得到对称的点坐标了，因为范围是0~1，从一象限来看，边界法线就是$(1,1)$，归一化后就是$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$,对于$\sqrt{A^2 + B^2}$实际上就是边界的长度，也就是$\sqrt{2}$，假设原坐标为(a,b),那么对称的坐标就是$a-2d *\frac{1}{\sqrt{2}}$,化简之后，会得到变换后的坐标X分量是$(1-b)$ Y分量则是$(1-a)$，因为四条象限的法向量有正负之分，那么最终结果会取决于法向量的个分量的正负，但是这里的法向量正负正好符合象限X,Y的正负，也就是最终表达式是$x = (1-|b|) * Sign(x)$$y = (1-|a|) * Sign(y)$

从边界限制条件入手

这个约束来自折叠是镜像——边界上的点折叠前后位置不变。取边界上任意一点 $(a,b)$，代入折叠公式后应该得到原点：要让边界点不动，需要：

\[new_x = a\] \[new_y = b\]

但边界上点满足 $

= 1$，所以可以得到 $$a = (1 -

) * sign(a)$$

\[b = 1 - |a| * sign(b)\]

折叠后的点必须满足 $

new_x

new_y

> 1$，即在菱形外侧。验证通过

\[|new_x| + |new_y|\] \[= (1 - |b|) + (1 - |a|)\] \[= 2 - (|a| + |b|)\]

平滑法线

可以理解为对法线进行权重影响，这个权重来自于角度，一个顶点的法线，由周边的所有三角形法线和经过角度加权之后得到

平滑法线烘焙到UV

blender脚本

 import bpy  
from mathutils import *
from math import *
import numpy as np

#创建空字典列表list
dict = {}
#获取模型Mesh
mesh = bpy.data.meshes['MESHNAME']

#calc_tangents：
#在网格中计算每个顶点的切线（tangent）、双切线（bitangent）和法线（normal），以便后续的方向相关计算。
mesh.calc_tangents(uvmap = 'UVMap')

#计算两个向量之间的夹角
# a·b = |a||b|cosθ
# θ = arccos(a·b / (|a||b|))
# 这里返回的弧度值  θ * (π/180) ≈ xxx弧度
def included_angle(v0, v1):
    return np.arccos(v0.dot(v1)/(v0.length * v1.length))

# 3维降为2维
def unitVectorToOct(v):
    # 步骤1：计算L1范数（曼哈顿距离）
    d = abs(v.x) + abs(v.y) + abs(v.z)
    # 步骤2：通过除以L1范数进行投影到八面体表面
    # o 是八面体的坐标
    o = Vector((v.x / d, v.y / d))
    # 步骤3：如果z是负数，需要进行特殊处理以保持连续性
    if v.z <= 0:
        # 使用折叠技术处理八面体的下半部分
        o.x = (1 - abs(o.y)) * (1 if o.x >= 0 else -1)
        o.y = (1 - abs(o.x)) * (1 if o.y >= 0 else -1)
    return o

#.co是coordinate的缩写，表示顶点的坐标。
# 取出模型的每一个顶点坐标，然后清空置空列表，后续存入新的坐标数据
for vertex in mesh.vertices:
    # 初始化 "<Vector (1.0, 2.0, 3.0)>": []
    dict[str(vertex.co)] = []

# 获取模型Mesh的每一个面
# l0,l1,l2分别表示模型Mesh的每一个面中的每一个顶点数据
# l0,l1,l2这样的写法是Blender的写法，表示loop0,loop1,loop2的循环体
# mesh.loops 存储了多边形顶点的循环信息
# poly.loop_start 表示多边形顶点的循环开始索引
for poly in mesh.polygons:
    #获取模型Mesh的每一个三角面中的每一个顶点数据
    l0 = mesh.loops[poly.loop_start] 
    l1 = mesh.loops[poly.loop_start + 1]
    l2 = mesh.loops[poly.loop_start + 2]
    
    #获取模型Mesh的每一个面中的每一个顶点数据
    ## 顶点的主要属性：
    #vertex.co           顶点的3D坐标 (Vector类型，包含x,y,z)
    #vertex.normal       顶点的法线方向
    #vertex.index        顶点在mesh.vertices数组中的索引号
    #vertex.groups       顶点组信息（用于骨骼绑定等）
    v0 = mesh.vertices[l0.vertex_index]
    v1 = mesh.vertices[l1.vertex_index]
    v2 = mesh.vertices[l2.vertex_index]

    #计算向量，三角形两条边向量
    vec0 = v1.co - v0.co
    vec1 = v2.co - v0.co
    
    #计算向量叉积，三角形两条边向量叉乘，得到法线
    n = vec0.cross(vec1)
    n = n.normalized()

    #v0.co 是一个 Vector 类型，包含 (x,y,z) 坐标值
    #Python的字典要求键（key）必须是"可哈希的"（hashable）
    #Vector 类型不能直接用作字典的键
    #这里将顶点坐标转换为字符串，便于后续使用
    #k0,k1,k2是字典的Key
    k0 = str(v0.co)     # 将顶点0的坐标转换为字符串
    k1 = str(v1.co)     # 将顶点1的坐标转换为字符串
    k2 = str(v2.co)     # 将顶点2的坐标转换为字符串
    
    # 计算三角形三个顶点的权重
    if k0 in dict:
        #计算顶点0的权重，w实际上是两向量夹角角度
        w = included_angle(v2.co - v0.co, v1.co - v0.co)
        # 添加数据
        dict[k0].append({"n" : n, "w" : w})
        
    if k1 in dict:
        w = included_angle(v0.co - v1.co, v2.co - v1.co)
        dict[k1].append({"n" : n, "w" : w})
        
    if k2 in dict:
        w = included_angle(v1.co - v2.co, v0.co - v2.co)
        dict[k2].append({"n" : n, "w" : w})
        
for poly in mesh.polygons:
    # 获取每一个三角面数据 
    #range(poly.loop_start, poly.loop_start + 3)遍历3个点
    for loop_index in range(poly.loop_start, poly.loop_start + 3):
        l = mesh.loops[loop_index]
        vertex_index = l.vertex_index
        v = mesh.vertices[vertex_index]
        #smoothNormal初始化
        smoothNormal = Vector((0,0,0))
        weightSum = 0
        k = str(v.co)
        if k in dict:
            a = dict[k]
            for d in a:
                n = d['n']
                w = d['w']
                #加权平均法线的计算公式：
                #例如：smoothNormal = (n1 * w1 + n2 * w2 + n3 * w3) / (w1 + w2 + w3)
                smoothNormal += n * w
                weightSum += w
        if smoothNormal.length != 0:
            smoothNormal /= weightSum
            smoothNormal = smoothNormal.normalized()
        else:
            # 如果计算出的平滑法线无效（长度为0），
            # 使用原始顶点法线作为后备方案
            smoothNormal = l.normal
        
        normal = l.normal           # 获取顶点的原始法线
        tangent = l.tangent         # 获取顶点的原始切线
        bitangent = l.bitangent     # 获取顶点的原始副切线

        # 计算投影
        # 使用原始的切线空间基底，计算平滑法线在这个空间中的表示
        x = tangent.dot(smoothNormal)       # 平滑法线在原始切线方向上的投影
        y = bitangent.dot(smoothNormal)     # 平滑法线在原始副切线方向上的投影
        z = normal.dot(smoothNormal)        # 平滑法线在原始法线方向上的投影
        
        #UV数组的大小总是等于loops的数量
        uv1 = mesh.uv_layers['UVMap.001'].uv[loop_index]
        
        uv1.vector = unitVectorToOct(Vector((x,y,z)))
 

平滑法线处理 - 八面体映射

范数