理论支线：PBRSpecular - GGX 速通

PBR 核心理论

什么是 PBR (Physically Based Rendering)

PBR 是一种基于物理原理的渲染方法，目标是在任何光照条件下都能得到物理正确的结果。 PBR 的核心理念：漫反射 + 镜面反射 = 完整的表面反射 基于微表面理论这是重点

f_r(l, v) = \underbrace{f_{diff}}_{\text{漫反射}} + \underbrace{f_{spec}}_{\text{镜面反射}}

核心思想三要素：

能量守恒 (Energy Conservation)：反射光不能超过入射光
基于微表面理论 (Microfacet Theory)：表面由无数微小镜面组成
使用真实物理参数：金属度(Metallic)、粗糙度(Roughness)替代传统的高光参数

Specular BRDF

PBR与传统模型区别主要是在高光，漫反射其实还是Lambert

f_{specColor}(l, v) = \frac{D(h) \cdot F(v, h) \cdot G(l, v, h)}{4 \cdot (n \cdot l) \cdot (n \cdot v)}\cdot NoL \cdot SpecularColor

镜面反射 BRDF (Cook-Torrance)

f_{spec}(l, v) = \frac{D(h) \cdot F(v, h) \cdot G(l, v, h)}{4 \cdot (n \cdot l) \cdot (n \cdot v)}

记忆口诀：DFG 除以 4NL·NV D - Distribution (法线分布) - 高光形状 F - Fresnel (菲涅尔) - 反射率 G - Geometry (几何项) - 遮挡分母 - 归一化因子

这里会考虑三个关键问题 Cook-Torrance 的 D、F、G 三项分别回答：

D 项：微镜面法线如何分布？（高光形状）
F 项：每个微镜面反射多少光？（反射强度）
G 项：有多少微镜面被遮挡？（自遮挡修正）

D- Distribution高光项公式

问题：在给定方向 h（半程向量），有多少比例的微镜面法线指向 h？入射光 L 和反射光 V 的中间方向 = H (Half Vector) 只有法线 = H 的微镜面才能将 L 反射到 V D(h) = 在方向 h 附近的微镜面密度

这里使用的高光计算公式是 GGX/Trowbridge-Reitz 公式

D_{GGX}(h) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (n \cdot h)^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}

参数：

α(粗糙度参数 / GGX 粗糙度)和粗糙度的平方相关

α=roughness^2

法线和半程向量的点积，这里其实就是Blinn-Phong

n⋅h

F 项 - Fresnel（菲涅尔）

F0： Fresnel at 0 degrees，正入射时的反射率（垂直看表面时的反射率），简单来说就是视线和法线夹角为0度的时候的反射率

F_0​=lerp(0.04,baseColor,metallic)

非金属（metallic=0）：F0 = 0.04（灰色）
金属（metallic=1）：F0 = baseColor（彩色）

F: 菲涅尔项 精确的公式

F(v,h)=F_0​+(F_{90}−F_0​)⋅(1−(v⋅h))^5

通常在视角和法线成90度也叫掠射角，可以理解为此时进入眼睛能观察的光线是与表面平行，那么相当于表面完全反射此部分的光线，所以几乎所有材质的F90反射率都是为1，所以红色可以化简

F_{90} = 1

这里需要注意，它的参数是v⋅h，并非宏观的下的fresnel（NoV），这里实际是取的微观表面的法线，不论宏观还是微观，它都满足入射角和出射角相等，那么L是入射，V是就是出射，那么微观平面法线就可以理解为L和V的角平分线也就是H(H=L+V)，这样就把fresnel（NoV）中的法线N替换，就是v⋅h了

F(v,h)=F_0​+(1−F_0​)⋅(1−(v⋅h))^5

因为入射和反射对称，所以用l⋅h也是对的

F(v,h)=F_0​+(1−F_0​)⋅(1−(l⋅h))^5

G 项 - Geometry（几何函数）

公式：Smith-GGX

G(l, v, h) = G_1(l) \cdot G_1(v)

其中可视性遮蔽：

G_1(v) = \frac{n \cdot v}{(n \cdot v) \cdot (1 - k) + k}

其中光线遮蔽：

G_1(l) = \frac{n \cdot l}{(n \cdot l) \cdot (1 - k) + k}

k 的计算（直接光照）：

k = \frac{(\text{roughness} + 1)^2}{8}

环境光K

k = \frac{\text{roughness}^2}{2}

对于D高光项计算公式的由来和解释

α 的定义 α 是微表面斜率的标准差（Standard Deviation of Microfacet Slopes）直白理解： 就是GGX的专用粗糙度系数 α 越大 → 微镜面法线越分散 → 高光越宽 α 越小 → 微镜面法线越集中 → 高光越尖 为什么要粗糙度的平方？

// 用户输入的粗糙度（线性感知） 
float roughness = 0.5; // [0, 1] 范围 
// GGX 使用的参数 
float alpha = roughness * roughness; // α = 0.25

原因：

感知线性化（Perceptual Linearization）

   人眼对粗糙度的感知不是线性的  
   roughness = 0.5 时，看起来像"中等粗糙"
   但如果直接用 α = 0.5，视觉上会太粗糙
   平方后 α = 0.25，视觉效果更符合直觉

Disney 的研究成果

Disney 在《Physically Based Shading at Disney》中提出
测试发现：α=roughness2^ 的调节曲线最符合艺术家直觉
现在成为行业标准

D_{GGX}(h) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (n \cdot h)^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}

roughness ∈ $[0, 1]$ ->平方 α ∈ $[0, 1]$ 但实际使用： roughness = 0.0 → α = 0.0 (完美镜面，会导致除零) roughness = 1.0 → α = 1.0 (完全粗糙) 所以通常会

clamp: float alpha = max(roughness * roughness, 0.001); // 避免除零

关于柯西公式

标准柯西分布（Cauchy Distribution）：

p(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}

带尺度参数 γ (gamma)的柯西分布：

p(x; \gamma) = \frac{1}{\pi \gamma \left(1 + \frac{x^2}{\gamma^2}\right)}

进一步变形：

(x; \gamma) = \frac{1}{\pi \gamma} \cdot \frac{\gamma^2}{\gamma^2 + x^2}

整理成分子分母：

p(x; \gamma) = \frac{\gamma^2}{\pi (\gamma^2 + x^2)}

二维柯西公式

p(m_x​,m_y​)=\frac{\gamma^2}{π(\gamma^2+m_x^2​+m_y^2​)^2}

GGX高光的起点：假设微表面斜率服从带尺度参数 γ (gamma)柯西分布，这个尺度就是粗糙度参数

如何描述微观平面的粗糙度变化量X

真实表面是 “高度场”，不是 “角度场”

真实世界里的粗糙表面是什么？

不管是：

打磨
抛光
拉丝
喷砂

本质都是：

在一个平面上制造“高度起伏”

问题： 如何描述表面的粗糙程度？ 传统想法（错误）： 用法线的角度分布？ 问题： 法线角度不直观，难以度量 正确方法： 用表面的高度变化！

因为是微观平面也就是微表面模型下，决定粗糙度与否的其实就是表面的高低起伏，也就是每一个微观平面与宏观平面所构成的斜率

想象用手摸一个粗糙表面： - 光滑 → 高度变化小 → 斜率小 - 粗糙 → 高度起伏大 → 斜率大 斜率定义：

p = \frac{\Delta x}{\Delta z}, \quad q = \frac{\Delta y}{\Delta z}

物理意义： - p：x 方向的坡度 - q：y 方向的坡度 - 斜率越大 → 表面越陡峭 → 越粗糙 这里的斜率其实是有两个分量方向的斜率的，图上仅画了x方向的斜率

p=\frac{Δx}{Δz}​,q=\frac{Δy}{Δz}

所以现在X变量和尺度值α（粗糙度）都有了，如果代入公式就可以得到一个结果了。但是这里有一个问题，那就是现在的X变量其实是实际不存在的微表面参数空间下的变量，而非我们肉眼看见的宏观平面，那么这样的话我们就需要进行空间转换了。 二维的柯西分布公式

p(mx​,my​)=\frac{\gamma^2}{π(\gamma^2+mx^2​+my^2​)^2}

但是我们需要的是二维的柯西分布公式，代入数值之后

p(p,q)=\frac{α^2}{π(p^2+q^2+α^2)^2}

这和最终的D_GGX公式还是差一点

D_{GGX}(h) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (n \cdot h)^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}

那么暂时总结一下就是下面几点： GGX 中使用的柯西分布最初定义在微表面斜率空间（slope plane） 上，
该空间并不是法线方向的半球；
而 BRDF 需要的是微表面法线在单位半球上的分布。
因此必须将斜率空间映射到方向空间，
并通过 Jacobian 修正映射过程中面积（权重）的变化。

雅可比(Jacobian )矩阵/行列式

Jacobian = 当我用新变量来描述同一批东西时，
一个“单位面积”被拉伸或压缩了多少，这里核心思想是描述局部线性变换

为什么需要 Jacobian？ 简单来说：我们有斜率空间 (p,q) 的分布，但 BRDF 需要的是法线方向 (θ,φ) 的分布。变量变换时，概率密度需要乘以一个”缩放因子”，这个因子就是 Jacobian 行列式 |J|。

斜率空间的分布： p(slope_x, slope_y) 需要转换到： D(法线方向 h) 工具： Jacobian 矩阵（变量变换）

斜率定义转换到半球空间：

p = \frac{Δx}{Δz} = tan(θ) \cdot cos(φ)

q = \frac{Δy}{Δz} = tan(θ)\cdot sin(φ)

其中： θ = 微平面法线与宏观法线 N 的夹角 φ = 方位角

求偏导

p 对 θ 的偏导

将φ看成常数 - 得到 ∂p/∂θ 和 ∂p/∂φ 意思就是求原始p分量在变换后对θ分量的分别贡献

函数

p = \tan(\theta) \cos(\phi)

求偏导（φ 看作常数）：

\frac{\partial p}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}[\tan(\theta) \cos(\phi)]

常数cosφ提出来

=cos(ϕ)⋅\frac{∂}{θ∂}​[tan(θ)]

tan(θ) 的导数

= \cos(\phi) \cdot \sec^2(\theta)

最终结果

= \sec^2(\theta) \cdot \cos(\phi)

p 对 φ 的偏导

将θ看成常数 - 得到 ∂p/∂θ 和 ∂p/∂φ 意思就是求原始p分量在变换后对φ分量的分别贡献

函数

p=tan(θ)cos(ϕ)

求偏导（θ 看作常数）：

\frac{\partial p}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial \phi}[\tan(\theta) \cos(\phi)]

常数tanθ提出来

=\tan(\partial)⋅\frac{\partial}{\partial\phi​}[\cos(\phi)]

cos(φ) 的导数

= \tan(\theta) \cdot (-\sin(\phi))

最终结果

=-\tan(\theta) \sin(\phi)

所以p对φ和θ方向的贡献就有了，也就是雅可比矩阵的第一行

\begin{bmatrix}\frac{\partial p}{\partial \theta} & \frac{\partial p}{\partial \phi} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}\sec^2(\theta) \cos(\phi) & -\tan(\theta) \sin(\phi)\end{bmatrix}

q 对 θ 的偏导

函数：

q = \tan(\theta) \sin(\phi)

求偏导（φ 看作常数）：

\frac{\partial q}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}[\tan(\theta) \sin(\phi)]

常数sinφ提出来

= \sin(\phi) \cdot \frac{\partial}{\partial \theta}[\tan(\theta)]

tan(θ) 的导数

= \sin(\phi) \cdot \sec^2(\theta)

最终结果

= \sec^2(\theta) \sin(\phi)

q 对 φ 的偏导

函数：

q = \tan(\theta) \sin(\phi)

求偏导（θ 看作常数）：

\frac{\partial q}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial \phi}[\tan(\theta) \sin(\phi)]

常数提tanθ出来

= \tan(\theta) \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}[\sin(\phi)]

sin(φ) 的导数

= \tan(\theta) \cdot \cos(\phi)

最终结果

= \tan(\theta) \cos(\phi)

所以q对φ和θ方向的贡献就有了，也就是雅可比矩阵的第二行

\begin{bmatrix} \frac{\partial q}{\partial \theta} & \frac{\partial q}{\partial \phi} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \sec^2(\theta) \sin(\phi) & \tan(\theta) \cos(\phi) \end{bmatrix}

组成雅可比Jacobian 矩阵

J = \begin{bmatrix} \frac{\partial p}{\partial \theta} & \frac{\partial p}{\partial \phi} \\ \frac{\partial q}{\partial \theta} & \frac{\partial q}{\partial \phi} \end{bmatrix}

J = \begin{bmatrix} \sec^2(\theta) \cos(\phi) & -\tan(\theta) \sin(\phi) \\ \sec^2(\theta) \sin(\phi) & \tan(\theta) \cos(\phi) \end{bmatrix}

因为我们处理的是一个面积缩放，需要的是一个缩放的标量，而非矩阵变换，所以此处对矩阵采用行列式形式计算提取一个值应用 2×2 行列式公式

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc​

|J| = \sec^2(\theta) \cos(\phi) \cdot \tan(\theta) \cos(\phi) - [-\tan(\theta) \sin(\phi)] \cdot \sec^2(\theta) \sin(\phi)

= \sec^2(\theta) \tan(\theta) \cos^2(\phi) + \sec^2(\theta) \tan(\theta) \sin^2(\phi)

化简（这是化简行列式，不是矩阵）

|J| = \sec^2(\theta) \tan(\theta) \cos^2(\phi) + \sec^2(\theta) \tan(\theta) \sin^2(\phi)

= \sec^2(\theta) \tan(\theta) [\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)]

= \sec^2(\theta) \tan(\theta)

= \frac{\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)}

单位面积的缩放：

输入空间：dθ × dφ（单位面积） ↓ 变换输出空间：|J| × dθ × dφ（变换后面积）

|J| = 面积放大/缩小因子

概率守恒：

p(θ, φ) dθ dφ = p(p, q) dp dq

p(θ, φ) dθ dφ= p(p,q) dθ dφ × |J|

所以：

p(p, q) = p(θ, φ) / |J|

代入

|J| = \frac{\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)}

得到

p(p, q) = p(\theta, \phi) \cdot \frac{\cos^3(\theta)}{\sin(\theta)}

现在就有(p,q) → (θ,φ)最终的雅可比了，也就是已经转换到宏观空间了，但是还需要转换到球面空间

立体角微元:

dω = sin(θ) dθ dφ

从 (p,q) 到立体角：

dp \, dq = \frac{\sin(\theta)}{\cos^3(\theta)} d\theta \, d\phi

=\frac{1}{\cos^3(\theta)} \cdot \sin(\theta) d\theta d\phi

=\frac{1}{\cos^3(\theta)} \cdot d\omega

= \frac{d\omega}{\cos^3(\theta)}

还需要考虑单位球上投影： 投影到法线空间的”面积”元素需要除以 cos⁡(θ)：

dA_h = \frac{d\omega}{\cos(\theta)}

也就是

d\omega= \frac{dA_h}{\cos(\theta)}

代入分布

dp \, dq = \frac{d\omega}{\cos^3(\theta)}

= \frac{dA_h / \cos(\theta)}{\cos^3(\theta)}

=\frac{dA_h}{\cos^4(\theta)}

所以最终得到结果是

|J| =\frac{dA_h}{\cos^4(\theta)}

概率密度变换

p(p, q) \, dp \, dq = D(h) \, dA_h

D(h) = p(p, q) \frac{dp \, dq}{dA_h}

= p(p, q) \frac{dA_h / \cos^4(\theta)}{dA_h}

= \frac{p(p, q)}{\cos^4(\theta)}

根据点乘定义，这里定义n和h都是单位向量，所以结果是cos(θ)

n \cdot h = cos(θ)

所以有：

\cos(\theta) = n \cdot h

代入 cos(θ)，得到了最终的分布关系

D(h) = \frac{p(p, q)}{(n \cdot h)^4}

微表面斜率空间转到宏观法线

当前微表面的法线表示是(p,q,1)，但是我们需要进行归一化 归一化因子就是所有分量的平方相加在开方

|h_{raw}| = \sqrt{p^2 + q^2 + 1^2} = \sqrt{p^2 + q^2 + 1}

h = \frac{h_{raw}}{|h_{raw}|} = \frac{(p, q, 1)}{\sqrt{p^2 + q^2 + 1}}

即：

h = \left( \frac{p}{\sqrt{p^2+q^2+1}}, \frac{q}{\sqrt{p^2+q^2+1}}, \frac{1}{\sqrt{p^2+q^2+1}} \right)

点积计算 这里左侧表示宏观计算noh,右侧则是微观的noh，它们在数值上应该相等

n\cdot h = (0, 0, 1) \cdot \frac{(p, q, 1)}{\sqrt{p^2 + q^2 + 1}}

展开点积：

= \frac{0 \times p + 0 \times q + 1 \times 1}{\sqrt{p^2 + q^2 + 1}}

= \frac{1}{\sqrt{p^2 + q^2 + 1}}

**现在就可以反向求解p和q

p^2 + q^2 = \frac{1 - (n \cdot h)^2}{(n \cdot h)^2}

代入 $p^2$ + $q^2$

我们有： - 柯西分布： $p(p,q) = \frac{\alpha^2}{\pi(p^2+q^2+\alpha^2)^2}$ - 几何关系： $p^2 + q^2 = \frac{1-(n \cdot h)^2}{(n \cdot h)^2}$

p(p,q)=\frac{α^2}{π(p^2+q^2+α^2)^2}

得到

p(p, q) = \frac{\alpha^2 (n \cdot h)^4}{\pi [(n \cdot h)^2(\alpha^2 - 1) + 1]^2}

根据前面得到的关系

D(h) = \frac{p(p, q)}{(n \cdot h)^4}

最终最终得到

D_{GGX}(h) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (n \cdot h)^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}

对于F菲涅尔项的公式由来和解释

精确 Fresnel 方程（1823）

发明者：Augustin-Jean Fresnel（法国物理学家）
年代：  1823 年
用途：  光学、物理学

公式：
  Rs = |n₁cosθᵢ - n₂cosθₜ|²
       |n₁cosθᵢ + n₂cosθₜ|

  Rp = |n₁cosθₜ - n₂cosθᵢ|²
       |n₁cosθₜ + n₂cosθᵢ|

  R = (Rs + Rp) / 2

需要：
  n₁ = 空气折射率 (1.0)
  n₂ = 材质折射率 (1.5, 1.33, ...)
  θᵢ = 入射角
  θₜ = 折射角（由 Snell 定律算出）
  
特点：
  ✅ 完全精确
  ✅ 物理正确
  ❌ 计算复杂
  ❌ 需要 IOR
  ❌ 需要 Snell 定律
  ❌ GPU 上慢

Schlick 近似（1994）

发明者：Christophe Schlick
年代：  1994 年
用途：  实时渲染、游戏

公式：
  F(θ) = F₀ + (1 - F₀)(1 - cosθ)⁵

需要：
  F₀ = 基础反射率（可以从 IOR 预计算）
  cosθ = 角度余弦（一个点积）
  
特点：
  ✅ 简单（一个 pow）
  ✅ 快速（适合 GPU）
  ✅ 误差小（< 1%）
  ❌ 不是完全精确

对于G几何遮挡项的公式的由来和解释

D 项说有微表面朝向 h和高光形状，F 项说它们会是否反射，但是因为有许多微平面，它们之间反射肯定会有遮挡关系，那么G项就是计算遮挡关系

公式：Smith-GGX

Height-Correlated Smith-GGX（完整版）：

G_1(m) = \frac{2(n \cdot m)}{(n \cdot m) + \sqrt{\alpha^2 + (1-\alpha^2)(n \cdot m)^2}}

其中：

m = 方向（可以是 v 或 l）
α = 粗糙度参数（= roughness²）

因为原公式计算太过复杂所以有了简化公式： Christophe Schlick 提出的近似：

G_1(m) \approx \frac{n \cdot m}{(n \cdot m)(1-k) + k}

参数 k 的定义（Schlick 原始）：

k = \frac{\alpha}{2}

其中 $\alpha = roughness²$

所以：

k = \frac{\text{roughness}^2}{2}

但是Schlick 的 k = α/2 在实际使用中有问题，如果粗糙度是0.5，掠射角看的时候偏亮，暗粗糙度变化不符合直觉 问题：如果直接用 roughness²也就是α 当 roughness = 0.5（中等粗糙）时：

float k = roughness * roughness / 2; // k = 0.125
掠射角（NoV = 0.1）：
G₁ = 0.1 / (0.1 × 0.875 + 0.125) = 0.47

边缘只暗了 53%，看起来不够粗糙，也就是反射还是太过明显

Disney 的解决方案（2012）：

重新映射 α：

\alpha_{\text{remapped}} = \frac{\text{roughness} + 1}{2}

然后：

k = \frac{\alpha_{\text{remapped}}^2}{2}

代入：

k = \frac{\left(\frac{\text{roughness}+1}{2}\right)^2}{2}

= \frac{(\text{roughness}+1)^2}{4 \times 2}

= \frac{(\text{roughness}+1)^2}{8}

Disney 的重映射：

float k = (roughness + 1) * (roughness + 1) / 8;  // k = 0.281

掠射角（NoV = 0.1）：
  G₁ = 0.1 / (0.1 × 0.719 + 0.281)
     = 0.28

边缘暗了 72%，符合”中等粗糙”的预期

所以k 的计算（直接光照）：

k = \frac{(\text{roughness} + 1)^2}{8}

对于环境光K 直接光（点光源）：

光来自单一方向
需要重映射以符合感知
k = (α_remapped)² / 2 环境光（IBL）：
光来自整个半球
已经在预过滤时考虑了分布
不需要重映射
k = α² / 2（原始 Schlick） 所以环境光K不用变

k = \frac{\text{roughness}^2}{2}

其中可视性遮蔽：

G_1(v) = \frac{n \cdot v}{(n \cdot v) \cdot (1 - k) + k}

其中光线遮蔽：

G_1(l) = \frac{n \cdot l}{(n \cdot l) \cdot (1 - k) + k}

那么最终计算结果形式是

G(l, v, h) = G_1(l) \cdot G_1(v)

最终结果解释

这里用乘法表示交集意思是满足光线能照射到且可视性遮蔽是可视的 Smith 的核心假设独立性假设： Shadowing 和 Masking 相互独立概率论： P(可见) = P(光线不被挡) × P(视线不被挡) = G₁(l) × G₁(v)

G(l, v, h) = G_1(l) \cdot G_1(v)

BRDF的归一化分母

因子 4：来源：立体角 Jacobian 变换从微表面法线 h 到入射方向 l

dω_h = dω_l / [4(v·h)]

因子 (n·l)：来源：入射投影光从 l 方向的有效强度 Lambert 余弦定律
因子 (n·v)：来源：出射投影从 v 方向看的有效面积 Foreshortening 效应

(n·l) 和 (n·v)： 都是单位向量的点积等于夹角的 cos 值表示投影比例代表”损失”或”缩减”

移动端的优化SpecularBRDF

标准的GGX高光计算

f_{spec}(l, v) = \frac{D(h) \cdot F(v, h) \cdot G(l, v, h)}{4 \cdot (n \cdot l) \cdot (n \cdot v)}\cdot NoL \cdot SpecularColor

替换几何项

V(l,v,h)=\frac{G(l,v,h)}{4⋅(n⋅l)⋅(n⋅v)}

近似

F⋅V≈\frac{1}{LoH_2⋅(roughness+0.5)}

最终GGX高光完整公式：

Specular = D \cdot \frac{1}{LoH^2 \cdot (roughness + 0.5)} \cdot NoL \cdot SpecularColor

D_{GGX}(h) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (n \cdot h)^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}